Axiomas de Peano (Matemática Específica)

Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por Peano (1858-1932), matemático italiano, en el siglo XIX. En particular los axiomas de Peano no se preguntan por el significado del que es un número natural, supone que existe y pretende encontrar un sistema simple de axiomas que caracterizan los números naturales y nos permite deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

  1. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
  2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a.
  3. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
  4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces a y b son números naturales iguales.
  5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Los axiomas de Peano, tal como fueron escritos (en latín), fueron

  1. El uno es un número natural.
  2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
  3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
  4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
  5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.

El hecho de considerar el 0 como natural o no es tema de controversia. Normalmente se considera que lo es según si se necesita o no, en cuyo caso el primer número pasa a ser el uno.


Los 5 dictados por el profe..
1) El cero es un número natural.
2) Si un número pertenece al conjunto de los naturales entonces su siguiente también es un número natural.
3) El número cero no es siguiente de ningún natural.
4) Si los siguientes de dos números son iguales entonces esos dos números son iguales.
5) Axioma de Inducción Completa: Un conjunto H de números naturales que cumpla las siguientes condiciones:
  • a) El 0 pertenece a ese conjunto.
  • b) Cada vez que un natural pertenece al conjunto H su siguiente también pertenece a H, entonces ese conjunto H es igual al conjunto de los naturales.



Definición de adición_

Para todo par ordenado de números naturales (m;p) llamamos suma de los anteriores (m+p) al natural que cumple las siguientes condiciones:

Ej:


Propiedades de la adición_

1)Propiedad de clausura(también llamada "ley de composición interna"): La suma de dos números naturales es natural.
2)Dado 3 números naturales cualesquiera (m,p y k) se cumple que m+(p+k) = (m+p)+k .


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