MATEMÁTICA ELEMENTAL


INDUCCIÓN MATEMÁTICA

CUADRO SINÓPTICO



Visto el esquema anterior, la primera pregunta que hay que formularse es:


¿Qué es la inducción matemática?

Busquemos en el DRAE. Inducción: Acción y efecto de inducir. A continuación habla de la inducción: eléctrica, magnética y mutua. No dice nada de la inducción matemática. Busco inducir: Fil. Ascender lógicamente el entendimiento desde el conocimiento de los fenómenos, hechos o casos, a la ley o principio que virtualmente los contiene o que se efectúa en todos ellos uniformemente.

Esta definición la podríamos expresar en un lenguaje menos académico, de esta forma:

La inducción es un proceso por el cual de varios casos particulares obtenemos una ley general

Siguiendo con el procedimiento vamos a ver lo que dice el CIRLEC. Inducción: Fil. Tipo de razonamiento, opuesto a la deducción que partiendo de enunciados particulares, concluye uno de extensión general. Si se consideran todos los casos particulares que incluye el universal, la Inducción se llama completa; si solo algunos se llamaInducción incompleta.

Lo que dice el CIRLEC me sugiere el siguiente:

Ejemplo de Inducción incompleta:

Si tomo objetos diversos y de distinto material y desde una cierta altura y en cualquier punto de la tierra los abandono, observo que caen. Esta observación me permite inducir la siguiente ley:

Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo tiende a caer

Como la tierra es, sensiblemente, esférica podemos añadirle a la ley anterior:

en dirección al centro de la tierra

Uniendo ambas proposiciones podemos enunciar la ley completa:

Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo tiende a caer en dirección al centro de la tierra

En un lenguaje más coloquial podemos decir que la inducción nos permite pasar de lo particular a lo general.

Ejemplo de inducción completa: La inducción matemática

La inducción matemática nos va a permitir generalizar; esto es, obtener expresiones generales por observación de los casos particulares. Este método constituye un recurso muy utilizado en teoría de números.

Para formalizar algo más lo anterior podemos consultar el DICMAT que dice:

La inducción es el camino para llegar a una solución que consta de cuatro pasos: Inferir, presentar una hipótesis, comparar y concluir.

El principio de inducción completa es un proceso que se enuncia así:

Sea A un conjunto finito que cumple estas condiciones:

a) El primer elemento tiene una determinada propiedad.

b) Si un elemento cualquiera tiene esa propiedad y la tiene también el elemento siguiente.

c) Entonces todos los elementos del conjunto tienen esa propiedad

Nota: Los razonamientos basados en este principio se llaman razonamientos por recurrencia y son los razonamientos matemáticos por excelencia.

Para aplicar tal principio precisamos:

- Un conjunto
- Una propiedad que puede expresarse en una fórmula

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.
2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición. A tal elemento es usual denominarlo elemento h.
3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es el (h + 1), cumple también esa propiedad.

Conclusión: Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad.

Ejemplo 1:

Demostrar por inducción que la suma de los n primeros números naturales consecutivos es igual a la mitad del producto del último número considerado por su siguiente.

a) Caso particular:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 x 6)/2 = 15

Observación: El último número considerado es 5; su siguiente 6; su producto 30; su mitad 15. Si sumamos el primer miembro obtenemos 15.

¿Qué hemos hecho? Comprobar que la propiedad es verdadera para n = 5.

Así podíamos aplicarla para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales.

Demostremos por inducción que esta propiedad es general.

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así:

Sj n = 1 + 2 + 3 + 4 +......+ n = n(n + 1)/2

desde j=1, hasta j=n

NOTA: j es un contador que va dándole a n valores sucesivos: 1, 2, 3 .... hasta el valorn.

Nos preguntamos:


¿Se puede aplicar el principio de inducción?

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si: La suma de n primeros números naturales consecutivos es igual a la mitad del producto del último número considerado por su siguiente.

Su expresión general es:

Sj n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2 (1)
desde j=1, hasta j=n

NOTA: Recordamos que j es un contador que va dándole a n valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor n.

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento es 1 y su siguiente 2; aplicando la fórmula 1 = 1 x 2/2 =1

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

1 + 2 + 3 +....+ h = h(h + 1)/2 (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa propiedad

Si a los dos elementos de la igualdad anterior le sumamos (h + 1) obtendríamos:

{1 + 2 + 3 +.......+ h} + (h + 1) = {h(h + 1)/2} + (h + 1) (**)

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Intuyamos la solución aplicando la propiedad. En el primer miembro de (**) el último elemento considerado es (h + 1); su siguiente en esta caso será: (h + 2); luego, de acuerdo con la propiedad enunciada:

Sj(h+1) ={1 + 2 + 3 +...+ h}+(h+1) = (h+1)(h+2)/2
desde j=1, hasta j=(h+1)

NOTA: Volvemos a recordar que j es un contador que va dándole a h valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor (h+1).

Para probarlo hagamos transformaciones en el segundo miembro de (**)

h(h + 1)/2 + (h + 1) Si sacamos (h+1) de factor común en la expresión anterior se transforma asi:

(h + 1)(h/2 + 1) = (h + 1)(h + 2)/2

Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la propiedad.

Conclusión:


Todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad expresada matemáticamente así:

Sj n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2
desde j=1, hasta j=n

¿Qué quiere decir esto? La fórmula (1) es válida para cualquiera que sea el valor den.

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En el ejemplo anterior hemos resuelto la siguiente cuestión: Enunciada una propiedad, escribir su fórmula general y demostrarla por inducción.

En el ejemplo siguiente vamos a resolver la siguiente cuestión, recíproca de la anterior: Dada la fórmula general de una propiedad, enunciarla, y demostrarla por inducción

Ejemplo 2:

Demostrar por inducción que:
Sj(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2 (1)
desde j=1, hasta j=n

Para enunciar la propiedad “traduzcamos” los símbolos:

¿Qué expresa S?

S es la letra griega sigma mayúscula y en Matemáticas simboliza la suma.

¿Qué expresa (2n-1)?

Con esta fórmula se representa un número impar cualquiera; basta sustituir n por el lugar que ocupa en los números impares, valores que se le adjudican a j. Así ¿Cual será el 1º, el 5º, el 7º... impar? Se sustituye en (2n-1), n respectivamente por 1, 5, 7 y nos resultaría:

2 x 1-1 = 1; 2 x 5-1 = 10-1 = 9; 2 x 7-1= 13

Observa que 1+3+5 +...+(2n - 1) son los resultados de sustituir en la expresión (2n-1), n, por los números naturales consecutivos 1, 2, 3,... y nos resultarán el 1º, 2º , 3º... etc. número impar

¿Qué expresa n2?

El cuadrado de un número; en nuestro caso el último número natural considerado.

¿Qué expresa el signo =?

Expresa “igual que”.

Si “sustituímos” en (1) cada símbolo por su formulación verbal tendremos:

La suma de los n primeros números impares consecutivos es igual al cuadrado del último número impar considerado

.

a) Caso particular: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Observación: El último número impar considerado es el 4º. No se trata de su valor, sino el lugar que ocupa: el cuarto (4º)

Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera para n = 4 (4º número impar) y así la podíamos aplicar para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales.

Demostremos por inducción que esta propiedad es general.

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así:

Sj(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2 (1)
desde j=1, hasta j=n

NOTA: Es la última vez que recordamos que j es un contador que va dándole a nvalores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta n.

Nos preguntamos:


¿Se puede aplicar el principio de inducción?

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Sí: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si: La suma de los n primeros números impares consecutivos es igual al cuadrado del último número impar considerado

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento se obtiene al sustituir en 2n-1, n. por 1, y nos resultaría:

(2 x 1) - 1 = 1

que es el primer número impar, como sabemos.

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

1 + 3 +.5...+ (2h-1) = h2 (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa propiedad

¿Cual sería el número impar que ocupa el lugar (h+1)?

Dos formas hay de obtener el siguiente impar de un impar dado:

Sumándole 2 unidades al impar dado obtenemos su siguiente.

Así el siguiente de 7 es 7+2= 9

el siguiente de (2h-1) sería:

(2h-1) +2 = 2h -1 + 2 = 2h + 1;

o bien sustituyendo en la expresión general (2n-1), n, por (h+1); esto es, donde estén, la sustituimos por (h+1) y operamos; así:

2(h+1) - 1 = 2h + 2 - 1 = 2h + 1

Si a los dos elementos de la igualdad (*) le sumamos (2h + 1) obtendríamos:

{1 + 3 +.5...+ (2h-1)} + (2h+1) = {h2}+2h+1

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Intuyamos la solución aplicando la propiedad.


En el primer miembro de (*) el último elemento considerado es (2h -1); su siguiente en este caso será: (2h + 1);

luego, de acuerdo con la propiedad enunciada:
{1 +3 +.5 +...... (2h + 1) = (h + 1)2

Para probarlo observamos que el segundo miembro de (**), h2 + 2h + 1, es el cuadrado de (h + 1); esto es: (h + 1)2

Matemáticamente se expresaría así: h2 + 2h + 1 = (h + 1)2

La expresión anterior es un producto notable que se desarrolla por el binomio de Newton o multiplicando (h + 1) por sí mismo o recurriendo a la fórmula que se aprende de memoria y muchas veces no se sabe lo que se está diciendo pero que la recuerdo:

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo sumando.

Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la propiedad.

Conclusión:


Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad expresada matemáticamente así:
Sj(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2
desde j=1, hasta j=n

¿Qué quiere decir esto? La fórmula es válida para cualquiera que sea el valor de n.

NOTA: Si observas el segundo ejemplo lo he resuelto aplicando el esquema del primero, con las mismas palabras en lo que es igual y sustituyendo lo que es diferente.

----o----

En los ejemplos 1 y 2, hemos operado con números y sumas y hemos aprendido dos cosas:


Dada una fórmula enunciar en el lenguaje ordinario la propiedad que expresa y, recíprocamente, enunciada una propiedad en el lenguaje ordinario escribir la fórmula que la simboliza

Asimismo los dos ejemplos se refieren a igualdades; en el siguiente nos vamos a referir a una desigualdad.

Mutatis mutandis, como dicen los latinos que significa: “cambiando lo que haya que cambiar”, voy a seguir el mismo esquema.

Ejemplo 3:

Demostrar por inducción que para n >1 la potencia enésima de un número más la unidad es mayor que la unidad más el producto de ese número por el exponente. Simbolicemos la propiedad en una fórmula:

Al número le vamos a llamar a (recuerda que si lo escribo en negrita es para destacarlo diferenciando de la preposición a).

La primera parte de la propiedad: La potencia enésima de un número más la unidad, se simboliza así:

(1+a)n.

Es mayor que, se simboliza así: >

La segunda parte de la exposición: unidad más el producto de ese número por el exponente, se simboliza así:

(1+na)

luego lo que hemos de probar por inducción es:

(1+ a)n > 1 + na;

a) Caso particular muy particular para a= 1 y n= 3 tenemos 23 = 8 > 1 + 2x1.

b) Caso particular más general:
(1+ a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a.

Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera: en el primer caso para
a = 1 y n = 3 y en el segundo caso para a = a y n = 2; así la podíamos aplicar para cualquier número pero, por muchas veces que la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales.

Demostremos por inducción que esta propiedad es general.

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así:

(1+ a)n > 1 + na (1)

Nos preguntamos


¿Se puede aplicar el principio de inducción?

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si: Para n>1, la potencia enésima de un número más la unidad es mayor que la unidad más el producto de ese número por el exponente.

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento se obtiene al sustituir en
(1+ a)n > 1 + na, n, por 2; recuerda que el primer número natural después de 1, es 2.

Sustituyendo nos resultaría:

(1+ a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a

(Esto lo hemos hecho más arriba y podíamos referirnos a esta transformación así: ver apartado b); recurso muy matemático de referirse sin más a lo hecho para no reiterarlo)

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

(1+ a)h > 1 + ha (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa propiedad

Lo que tenemos que probar es que

(1+ a)(h+1) > 1 + (h+1)a (**)


¿Cual sería la expresión del elemento siguiente al h; esto es: el que ocupa el lugar (h+1)?

Dos formas hay de obtener el término siguiente: multiplicando el primer miembro de(*) por

(1 + a)

Recuerda que la potencia siguiente de un número se obtiene multiplicando la potencia anterior por ese número.

Así la potencia siguiente de 24 se obtendría multiplicándola por 2; esto es:

24 x 2 = 25

o bien sustituyendo en la fórmula general

(1+a)n, n, por (h+1)

esto es donde esté n, la sustituimos por (h+1) y obtendríamos:

(1+a)(h+1);

Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si los dos miembros de la igualdad (*) lo multiplicamos por

(1 + a)

obtendríamos:

{(1+a)h} (1 + a) > {(1 + ha)}(1+a) (**)

Que es lo mismo que escribir después de operar:

(1+a)(h+1) > 1 + ha+ a + ha2 (***)

El segundo miembro de(***) después de sacar factor común se puede expresar así:

1 + ha+ a + ha2 = 1 + (h +1) a + ha2 > 1 + (h+1) a


NOTA: Para llegar a esa desigualdad hemos despreciado, como en el apartado b), ha2 que es positivo; luego al despreciar una cantidad positiva del segundo miembro de la igualdad anterior, el primer miembro sería mayor que el segundo..

Por tanto (***) la podemos escribir así:

(1+a)(h+1) > 1 + (h+1)a

que es lo mismo que resulta de sustituir en

(1+ a)n > 1 + na, n, por (h + 1);

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Conclusión:


Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad expresada matemáticamente así:
(1+ a)n > 1 + na

¿Qué quiere decir esto? La fórmula es válida para cualquiera que sea el valor de n.

----o----

Ejemplo 4:

Demostrar por inducción que la suma de todos los números combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, es igual a 2 elevado al numerador. Simbolicemos la propiedad en una fórmula:

NOTA: Tengo dificultad para escribir con símbolos en el ordenador el combinatorio m sobre n, que se expresa mediante este símbolo ( ) con el numerador m arriba y el orden n abajo. Como el combinatorio m sobre n es el número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n, y el símbolo de las combinaciones ordinarias es: Cm,n operaré con él, por comodidad. Si se sustituye en el desarrollo posterior Cm,n por el símbolo combinatorio habremos resuelto el problema de la escritura, al tratarse de dos conceptos equivalentes.

La primera parte de la exposición: la suma de todos los números combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, se simboliza así:

SCm,n

igual que, se simboliza así: =

La segunda parte de la exposición: 2 elevado al numerador se expresa así: 2m

La simbolización y lo que hemos de probar por inducción es:

n = m

S Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,m = 2m (1)

n = 0

a) Supongamos que m = 5 entonces sería:

n = 5

S Cm,n = C5,0 + C5,1 + C5,2 +...+ C5,5 = 25 = 32

n = 0 desde n = 0, hasta n = 5

Como C5,0 = C5,5 = 1; C5,1 = C5,4 = 5;
C5,2 = C5,3 = 10 (2)

NOTA: En (2), se ha aplicado la propiedad de los números combinatorios complementarios (ir)

En a) hemos comprobado que la propiedad que pretendemos demostrar es verdadera, cuando m = 5; así la podíamos aplicar para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales.

Nos preguntamos


¿Se puede aplicar el principio de inducción?

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si: La suma de todos los combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, es igual a 2 elevado al numerador.

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así

n = m

S Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,m = 2m (1)

n = 0 desde n = 0, hasta n = m

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento es Cm,0 se obtiene al sustituir en Cm,n, n por 0 y su valor es igual a la unidad. (Todo combinatorio de orden cero es igual a la unidad) (ir)

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

Ch,0 + Ch,1 + Ch,2 +...+ Ch,h = 2h (2)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa propiedad

Lo que tenemos que probar es que:

C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +C (h+1),3...+ C(h+1), (h+1) = 2(h+1) (3)

Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si los dos miembros de la igualdad (2) lo multiplicamos por 2 obtendríamos:

2(Ch,o + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = 2h x 2 = 2(h+1) (4)

Los segundos miembros de (3) y (4), son iguales y los primeros miembros, tienen que serlo también (propiedad transitiva); lo que hay que demostrar es que:

2 S Ch,n = S C(h+1),n
desde n=0, hasta n=h desde n = 0, hasta n = (h+1)

El primer miembro podemos escribirlo así:

2(Ch,0 + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = Ch,0+{Ch,0+Ch,1} +{Ch,1+Ch,2} + ...
{Ch,2+ Ch,3}+.....{....+ Ch, h}+ {Ch, h}

Por las propiedades de los números combinatorios: (ir)

Ch,0 = C(h+1),0 = 1
Ch,0+Ch,1 = C(h+1),1
Ch,1+Ch,2 = C(h+1),2

Así sucesivamente hasta

{(....)+ Ch, h}= C(h+1), h En (....) he simbolizado el anterior a Ch, h

{Ch, h}= 1 = { C(h+1), (h+1)}

.Podemos afirmar que el primer miembro de (4) es igual al primer miembro de (3)

Por tanto hemos probado la propiedad esto es:

S C(h+1),n = C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +...+ C(h+1), (h+1) = 2(h+1)
desde n = 0, hasta n = (h+1)

Conclusión:

Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad expresada matemáticamente así:

S Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,n = 2m
desde n = 0, hasta n = m

¿Qué quiere decir esto?

La fórmula es válida para cualquiera que sea el valor de m.

OBSERVACION: Todos los ejemplos se han desarrollado utilizando el mismo esquema de proceso. Se proponen diversos ejercicios para que el lector los demuestre por inducción.

Ejercicio pedido por correo.

Demostrar por inducción la fórmula del desarrollo de la potencia del binomio.

Ante la dificultad de operar con los combinatorios lo resolví de forma mixta, con ordenador lo literal y a mano lo matemático. Su resolución está en: las siguientes páginas: 1ªhoja; 2ªhoja; 3ªhoja. También está indicada su resolución y después resuelto en Mensajes cruzados

Ejercicios propuestos: Probar por inducción las siguientes propiedades:

1) La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales (S n2) es igual a:

La solución está aquí

2) La suma de los cubos de los n primeros números naturales (S n3) es igual a:

La solución está aquí